Mi sono spesso chiesto come avrebbe affrontato adesso Newton i problemi di meccanica al tempo delle stazioni grafiche personali. Ad esempio...

Newton viene informato che e' stata scoperta dagli astronauti sulla Luna, una fabbrica automatica costruita da alieni e in perfetto funzionamento. Tale fabbrica da controlli fatti risulta in funzione da milioni di anni e non si e' mai fermata. Si vuole conoscere la legge del suo funzionamento.

Sembra si possa descrivere lo stato della fabbrica a ogni istante con due sole variabili x e y(che potrebbero rappresentare le concentrazioni di qualche prodotto essenziale). Inoltre sia x che y non hanno mai superato l'intervallo di valori tra -4 e 4, altrimenti la fabbrica avrebbe smesso di funzionare.

Newton, avendo a disposizione un calcolatore, pensa subito a un algoritmo che calcola x e y al tempo n conoscendone i valori al tempo n-1 cioe' a una iterazione:

x=f(x,y) (1)
y=g(x,y)

dove f e g sono due formule algebriche contenenti le 4 operazioni piu' alcune costanti.

Per cominciare Newton si chiede se e' facile trovare delle formule del tipo (1) che generino dei valori x,y sempre nell'intervallo permesso. Comincia a provare e,lo avrete capito,scopre che quasi ogni formula che non sia proprio banale, va bene. Non siete convinti? Allora provate a inventare una formula qualsiasi, inseriteci dei coefficienti variabili e provate col computer con diversi punti iniziali e coefficienti generati a caso. Dopo un po' di tentativi il computer trovera'la combinazione giusta di valori iniziali e coefficienti. Naturalmente e' difficile controllare che l'iterazione continui senza uscire dall'intervallo per un milione di anni, ma possiamo essere abbastanza certi che se non e' uscita fuori dopo 1000 volte e' probabile che rimanga intrappolata dentro.

A questo punto Newton decide di sfruttare la sua superworkstation che ha teraflops a buttare e la notte non ha niente da fare. Perche non far generare al computer direttamente le formule stesse a caso,provandole poi una a una e conservando quelle buone? Detto fatto, Newton che e' anche un bravo programmatore, scrive un programma che genera formule algebriche a partire da una sequenza di valori a caso .Mette il computer al lavoro e la mattina dopo ha la soddisfazione di guardare la prima serie di formule "scoperte" dal computer:

   x = x*y+a*x-y      con a=0.357057         (1)
   y = x+y

   x = a*y       a=-0.999881                 (2)
   y=  x + b*y   b = 0.09160503

   x = -y                                     (3)
   y = x*x*x -x -y

   x = a*x/y -y    a=.000496                   (4)
   y = x + y +b    b=.510406

Oltre 100 formule ed alcune molto piu' complesse di queste! Come capirci qualcosa? Ma perbacco, la sua workstation grafica non chiede di meglio che costruire incredibili immagini e guarda caso le formule non fanno altro che generare punti di coordinate x,y comprese nella finestra -4 <x,y < 4. Newton armeggia col toolkit grafico e come per incanto le formule sono diventate straordinarie creature che abitano lo schermo del suo computer. Spirali di ogni tipo. Attrattori caotici e anche attrattori che sono al tempo stesso simmetrici e caotici (fig. 2).

Ora le cose cominciano ad avere piu' senso ma purtroppo l'immagine della singola orbita non da un'idea completa della formula, dato che quasi sempre questa genera orbite diverse a partire da punti iniziali diversi. Newton ci pensa un po' e trova la soluzione mostrata nelle seguenti figure dove si ha un quadro completo della formula considerata. In effetti tutti i punti collegati allo stesso punto di partenza e quindi appartenenti alla stessa orbita sono colorati allo stesso modo. Le parti in bianco corrispondono a punti di inizio che portano i valori di x e y ad uscire dall'intervallo permesso. Queste figure danno un quadro completo della formula. Formule che hanno immagini quasi identiche nella figura 1, possono corrispondere a rappresentazioni di questo tipo completamente diverse.