I Frattali e il caos

E' straordinario il fatto che i frattali dedotti da algoritmi cosi' semplici, mostrino delle forme cosi' complesse e cosi' somiglianti a cio' che vediamo in natura.

Tutto questo e' solo un caso o c'e' qualcosa di piu' profondo?

Una possibile spiegazione e' che la Natura si comporti come un computer, con delle leggi che non sono altro se non l'esecuzione di algoritmi. Inoltre, tra gli infiniti algoritmi possibili,sono preferiti quelli piu' semplici simili a quelli che producono i frattali.

Dicendo che la Natura e' un computer, non vogliamo dire altro se non qualcosa di risaputo e cioe' che le leggi della natura sono leggi matematiche. Infatti i programmi di computer non sono che matematica in azione.

Possiamo pensare allo scienziato come qualcuno che fa delle misure e poi cerca di trovare degli algoritmi che riproducono queste misure e permettono di prevedere il risultato di misure future.

Ora in natura si ritrovano assieme numerose simmetrie e il caos. Ma finora gli scienziati non sapevano dare ragioni valide per tutto questo.

Se ci riferiamo alle leggi di natura come programmi di computer la cosa si "spiega". Sembrerebbe che se ci sono due programmi possibili per regolare un certo fenomeno, il padreterno come quasi tutti i programmatori preferisce il programma piu' corto.(Chi e' programmatore sa che per tenere piccolo un programma bisogna usare dei cicli e che un ciclo puo' essere a sua volta realizzato da una procedura ricorsiva.)

I programmi piu' corti possibili sono quelli contenenti procedure ricorsive. Sono queste procedure ricorsive a generare delle simmetrie spaziali.

Vedi per esempio la costruzione di un albero.

Un albero e' definito disegnando il tronco; girandosi a destra e disegnando un altro albero piu' piccolo, poi a sinistra e disegnando un secondo albero uguale.

Certo direte non e' un albero realistico. Eppure con un algoritmo solo poco piu' complicato, sono riusciti a sintetizzare numerose piante in 3D uguali a quelle reali.

Insomma simmetrie spaziali e frattali (che sono simmetrici rispetto al cambiamento di scala) si presentano ogni volta uno vuole risparmiare sull'algoritmo usando una procedura ricorsiva.

Che dire del caos?

Se ci riferiamo a fenomeni fisici nel tempo (cioe' al loro andamento temporale) essi saranno descritti da una o piu' variabili. Per non complicare le cose, usiamo una sola variabile x. Il piu' semplice algoritmo che descrive l'andamento temporale di questa variabile e' come al solito una procedura ricorsiva ma questa volta in termini temporali: x(t+1) = f(x(t)).

Questa e' quella che in gergo viene chiamata iterazione.

Per modellare fenomeni naturali siamo interessati a iterazioni non banali come quelle che fanno diventare x costante, ne' impossibili come quelle che fanno diventare x infinito.

La piu' semplice iterazione non banale e' x = c*x*(1-x).

L'andamento di questa iterazione varia al variare del valore iniziale x0.Il diagramma di Feigenbaum, da a colpo d'occhio cosa succede al variare di x0. Prima si stabilizza su un unico valore, poi comincia a ciclare tra 2, poi 4, 8,16, e infine infiniti valori, cioe' diventa caotica!

Cioe' la necessita' di avere un programma piccolo ha come conseguenza delle leggi realizzate da iterazioni, e queste presentano un andamento caotico.

Forse bisognerebbe spiegare meglio da dove viene questo andamento caotico.

In matematica esiste questa astrazione che sono i numeri reali:astrazione perche' essi hanno precisione e informazione infinita e percio' sono impossibili da realizzare nella vita reale.

Infatti i numeri risultato di misurazioni, sono di necessita' finiti come lo sono i numeri cosiddetti reali nel calcolatore.

I matematici e i fisici, non si erano resi conto che questa piccola differenza puo' provocare il caos.

Da notare che questo tipo di caos prodotto da algoritmi semplici non va confuso col caso dove non esistono algoritmi per riprodurre i risultati osservati:ad esempio i risultati del lotto. Per distinguere i due casi si parla di caos deterministico quando esso e' prodotto da leggi semplici e di "caso" quando l'unico algoritmo possibile e' quello di enumerare tutti i risultati ottenuti senza che sia possibile prevedere quelli futuri.

Il fatto che il caos sia possibile con leggi semplici e' stata una grande scoperta ed ha fatto sperare che alcuni fenomeni finora considerati casuali (cioe' impossibili da descrivere se non con leggi statistiche) siano in effetti dovuti a leggi semplici (ad esempio l'andamento della Borsa).

Ce ne siamo resi conto col calcolatore che usa numeri approssimati come la realta'.

Ma cosa succede con esattezza?

Supponiamo prima di usare numeri ideali . A ogni numero reale di partenza per l'iterazione corrisponde una sequenza di numeri ideali e questi formano la sua orbita.

Immaginiamo di conoscere tutte queste orbite.

Ora uso il mio limitato calcolatore (o le misure reali) e dopo il primo passo, il risultato e' gia' un'approssimazione e quindi invece di continuare sull'orbita di partenza salto per cosi' dire su un'altra orbita. Cosi' a ogni passo.

Se l'iterazione si comporta bene posso finire vicino a dove sarei finito nel caso ideale, ma nel caso del caos, vado a finire da tutt'altra parte!

In effetti la firma del caos e' nel fatto che prendendo un certo numero di punti di partenza molto vicini, si vede che questi dopo un po' di tempo si sono sparpagliati per tutta una regione dello spazio, che' e' l'attrattore strano per quella iterazione.

Di solito un attrattore strano e' un frattale. Per cui il modo piu' semplice per disegnare un frattale e' attraverso un'iterazione di 1,2,3 o piu' parametri.

Ad esempio l'attrattore di Lorentz e' creato da una iterazione a 3 parametri, che doveva servire a modellare il tempo atmosferico.

I fenomeni nonlineari o con feedback in natura, sono quindi dovuti alla "necessita'" di dover usare algoritmi semplici e percio' ricorsivi.

Da notare che molto prima della scoperta del caos deterministico , si usava il computer per generare "numeri a caso"(in realta' sequenze periodiche molto lunghe perche' prima o poi gli stessi numeri devono ripetersi) con iterazioni. La piu' usata e'

x = resto della divisione di (x*m+p) e q.
ma nessuno aveva pensato che questo potesse avere un significato cosi' profondo.

Gli insiemi di Julia e Mandelbrot sono legati alle iterazioni nel modo seguente.

Volendo approfondire lo studio matematico delle iterazioni conviene passare da iterazioni reali come la x = c*x*(1-x) a iterazioni complesse z = c*z*(1-z) dove c e z sono complessi.

Nel campo complesso si vede che esiste un'iterazione ancora piu' semplice z = z^2 + c che e' caotica! percio' conviene cominciare da questa.

Volendo studiare questa iterazione, vediamo che dipende da quattro parametri: due x0,y0 sono il punto di partenza,gli altri c1,c2 sono la costante.

Possiamo tenere c1 e c2 costanti, facendo variare x0,y0 e rappresentando il fatto che l'iterazione va o meno all'infinito:questo e' l'insieme di Julia.

Per ogni c si ha un diverso insieme.

Viceversa possiamo tenere x0,y0 costante e uguale a 0, e variare c, ottenendo l'insieme di Mandelbrot. (Anche qui potremmo avere piu' insiemi ma in effetti gli insiemi per x0,y0 diverso da 0, sono identici a quello a 0 a parte delle deformazioni.)

Come si vede questa e' una generalizzazione del diagramma di Feigenbaum, e non c'e' da meravigliarsi che siano cosi' complessi e cosi' simili a scenari naturali, perche' sono legati a iterazioni che descrivono fenomeni naturali.

Questi insiemi di julia, mandelbrot e il diagramma di Feigenbaum si possono definire per ogni possibile iterazioni, ed hanno di solito caratteristiche molto simili a quelli prototipici dell'equazione logistica e della mappa quadratica.

Tenuto conto della potenza delle funzioni ricorsive nel generare pattern naturali,ci si chiede se non sia possibile trovare un sistema generale per sintetizzare immagini naturali. Ebbene si, sono stati trovati almeno due metodi che partono ambedue dalle funzioni ricorsive.

Nel primo metodo, della grammatica di Lindemeyer, partiamo dalla constatazione che l'effetto finale di una chiamata ricorsiva e' di generare una stringa di move e turn che alla fine sono trasformati in disegno. Assegnamo a questi dei simboli che saranno quelli base nella nostra grammatica. Quindi definiamo dei simboli complessi e delle regole che ci dicono come i simboli complessi possono trasformarsi in simboli complessi e simboli base. Con questa grammatica, facciamo un certo numero di iterazioni,generando a partire da una stringa iniziale, una stringa finale. Questa sara' poi interpretata dalla tartaruga che disegnera' solo i simboli base. Questo approccio puo' essere esteso anche a 3 dimensioni con una tartaruga "3D" e porta a realistiche simulazioni di piante ma anche di altri oggetti.

Nel secondo metodo,si tiene conto del fatto che se, una procedura ricorsiva richiama se stessa ad esempio tre volte, quello che succede e' che dei punti di una figura, vengono sottoposti nelle diverse generazioni a 3 differenti trasformazioni che li trasformano in tre figure ruotate, scalate e translate. Si tratta in effetti di trasformazioni affini e un insieme di trasformazioni affini assieme a una figura di partenza e' equivalente al programma ricorsivo originale. Ma possiamo andare oltre e chiederci se esiste una iterazione che abbia come attrattore la figura originale. La risposta e' si. Basta usare il sistema nel modo seguente: si parte da un punto qualsiasi,poi a ogni iterazione si sceglie una trasfromazione affine a caso e la si applica. Questo e' il cosiddetto algoritmo del caos di Barnsley. Il risultato finale (dopo molte iterazioni) e' la figura originale!

Ci si chiede se non e' possibile in questo modo sintetizzare qualsiasi immagine. Ebbene anche qui la risposta e si'! Barnsley ha mostrato una procedura per ricostruire a partire da un'immagine il sistema che lo sintetizza. Non e' facile, ma se uno ci riesce puo' comprimere l'immagine originale rappresentandola coi pochi numeri del sistema. E' questo il metodo di compressione coi frattali.

Ora il cerchio e' chiuso! Siamo partiti dalla constatazione se la suggestiva somiglianza dei frattali con scene naturali non abbia qualche significato,e siamo giunti alla conclusione che sia possibile modellare la realta' o almeno la sua immagine con dei frattali.


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