Lettere a corrispondenti sulla simmetria nelle leggi fisiche

Seconda puntata del feulleitton!

Riassunto della prima puntata: Visto che il caos deterministico e' stato scoperto a partire dalle approssimazioni delle equazioni differenziali, perche' non studiare queste approssimazioni in maniera sistematica con la speranza di scoprire qualche altra legge fondamentale. Una approssimazione generica e' una iterazione:

x = f(x,y)
y =g(x,y)

f e g sono espressioni algebriche create a caso.

Facciamo una selezione con criteri "fisici" e cerchiamo di classificare cio' che rimane. Due criteri fisici usati:

  1. Durata nel tempo Cioe' l'iterazione non deve andare all'infinito , ne ridursi a un singolo valore ripetuto in continuazione, ma deve dare sempre nuovi valori che ogni tanto si possono ripetere.
  2. Limitazione spaziale:i valori generati devono essere sempre in un intervallo limitato: nel mio caso il rettangolo con -4 >x,y < 4
Per esempio se x e y descrivono Saturno nel sistema solare, assumiamo che giri in perpetuo in una regione definita dello spazio delle fasi.

Lo studio si fa guardando la figura generata:

Usando solo 1) si vede che abbiamo delle forme caratteristiche filiformi. Ma quando si applica anche 2 allora la maggior parte di queste (il 99 %) sparisce e rimangono solo delle forme ben definite che gia' l'altra volta ho classificato. Molte di queste sono simmetriche, altre caotiche e altre al tempo stesso simmetriche e caotiche.

Quindi la 2 crea simmetria. Per capire come si generano queste forme pensiamo alla iterazione come una trasformazione del piano e applichiamola a una griglia per vederne l'effetto. Abbiamo 3 effetti possibili:

  1. rotazione
  2. rimpicciolimento,
  3. ripiegamento su se stesso come la massa di pasta tra le mani di un fornaio.
(2) da sola produce punti; (1) da solo produce line curve chiuse (1) e (2) producono spirali; (3) produce figure caotiche.

Cosa viene prodotto dipende da come queste deformazioni sono distribuite nello spazio:ad esempio nella finestra considerata possiamo avere 3 zone diverse e separate con prevalenza 1 e 2 e questo fa apparire 3 spirali. Una mappa delle deformazioni con una sola applicazione da gia' un'idea di cosa si otterra' alla fine.


Ciao,

ho seguito il tuo consiglio di studiare piu' in dettaglio le trasformazioni ed ho ottenuto degli interessanti risultati che ora ti riporto e che mi piacerebbe discutere con te.

Antefatto

Ti ricordo che si trattava di cercare di spiegare l'origine della simmetria nelle leggi fisiche cercando di usare lo stesso metodo seguito per scoprire il caos deterministico. Studiando cioe' gli algoritmi che risolvono le equazioni differenziali numericamente.

In particolare, si cerca di fare uno studio sistematico di questi considerando non un particolare sistema ma generando a caso tutti i possibili algoritmi e poi scegliendo con criteri "fisici" quelli che potrebbero corrispondere a sistemi reali. Questo modo di procedere viene giustificato dal fatto che essendo i numeri reali e la continuita' concetti ideali non realizzabili in pratica perche' richiedono infinita informazione, e' possibile che queste soluzioni "approssimate" ma realizzabili ci possano fornire piu' informazioni dei modelli a sistemi di equazioni differenziali dai quali provengono. In effetti e' questo che e' successo con la scoperta del caos deterministico.

Il metodo usato

Come procedere in pratica? Limitiamoci a sistemi descritti da 2 sole variabili x e y nello spazio delle fasi. Assumiamo che tutte le soluzioni possibili siano nella forma di un ciclo di programma di computer che ad ogni iterazione calcola

Xn=f(Xn-1,Yn-1) (1)
Yn=g(Xn-1,Yn-1)

x,y al tempo n in funzione di x,y al tempo n-1. Assumeremo inoltre che l'inizio dell'iterazione sia in un certo intervallo

x1 < x < x2 (2)
y1 < y < y2

e che lo studio della stessa iterazione venga fatto nello stesso intervallo.

In pratica lo studio consiste nel generare due formule algebriche f e g a caso, un punto iniziale x0,y0 anch'esso a caso, far ripetere la 1 per 1000 volte per eliminare il transitorio e quindi plottare i punti generati nella finestra considerata per i successivi 10000 punti.

Si vede allora se si e' formata un'immagine (cioe' un numero di pixel > n e' stato colorato). Se si, la formula generata e' conservata, per essere studiata in seguito per lo piu' con tecniche grafiche.

La figura 1 (che gia hai) mostra il risultato che si ottiene con le prime 36 formule valide mostrate assieme.

Le figure che si ottengono sono caratteristiche e non molto realistiche. In effetti c'e una condizione ulteriore che va imposta perche' possiamo parlare davvero di soluzioni riferentesi a sistemi fisici reali. Cioe' x e y non devono mai uscire dall'intervallo 2.

Se si impone questa condizione otteniamo gli 'attrattori' di figura 2. Ora la presenza della simmetria e' evidente. In effetti la figura 2 e' stata generata facendo girare il programma per molto tempo e cercando di scartare i"doppioni" che si presentano spesso.

La classificazione

Le figure formatesi possono essere classificate e nel materiale che gia hai, avevo abbozzato una tale classificazione.

La spiegazione di come si formano le varie strutture mostrate

Prendiamo la scacchiera di figura 4 e sottoponiamola alla (1); il risultato e' una specie di piano deformato che da' un'idea di come agisce la 1.

Iterando l'applicazione della 1 possiamo in effetti ricostruire come avviene la formazione delle varie configurazioni. In quello che segue useremo alcune delle formule scoperte dal nostro programma mostrandone l'effetto sulla figura 4.

Intanto distinguiamo 3 effetti di base:

  1. Rotazioni
  2. Deformazione
  3. Trasformazione del "fornaio" o "stira e piega"
La 1 si puo visualizzare ruotando il piano:la sua applicazione prolungata produce ogni sorta di curve chiuse e spirali(figura 5).

La 2 si ottiene deformando lo stesso . Si noti che queste deformazioni possono essere distribuite in vario modo nello spazio. Da sole producono,applicate di seguito, dei punti limite. Assieme alle rotazioni producono spirali.

Per la 3 che produce i risultati piu' vistosi sara' necessario usare lo spazio tridimensionale;piegando il piano su se stesso e quindi deformandolo e proiettandolo sul piano originale. (Un modo per capire la cosa e' di fotocopiare la scacchiera 4 su un lucido, di ripiegare il lucido formando una figura tridimensionale arbitraria e quindi di proiettare il risultato sul piano:figura 6 .Cosi' pero' e' impossibile riprodurre gli effetti di stiramento). La 3 come e' ovvio puo produrre,applicata di seguito, risultati complessi . In pratica si puo' ottenere un attrattore caotico(fig.7). Ma dato che il piegamento nello spazio puo' essere fatto generando configurazioni spaziali simmetriche (vedi figura 8) il risultato puo' essere un attrattore al tempo stesso simmetrico e caotico.

Dipendenza dai parametri

Una stessa formula (vedi figura 9) a seconda del valore di una costante puo' generare una serie di figure. Questo e' il ben noto "passaggio al caos con biforcazione".

Dipendenza dal punto di partenza

Alcune figure sono indipendenti dal punto di partenza; In altri casi la figura ottenuta cambia a seconda di tale punto ma mettendo queste insieme si nota che tutte le configurazioni hanno la stessa simmetria (vedi figura 10).

E' possibile avere nella finestra considerata piu' di un attrattore:in tal caso ognuno avra' un suo bacino di attrazione. E' notevole il fatto che le figure cosi' generate anche se non uguali, sono molto simili(fig. 11).

Il bacino di attrazione di un attrattore e' spesso una figura simile all'attrattore .(vedi fig.12)

Spiegazione della simmetria per le singole formule

Per alcune delle formule piu' semplici, iterando la trasformazione e rappresentandola con la scacchiera deformata e' possibile spiegare la configurazione finale (vedi fig.13 ).Le simmetrie ivi presenti dipendono sia dalla simmetria delle equazioni, sia dall'effetto complessivo della trasformazione sullo spazio. In particolare si vede come rimangano delle zone stabili che spiegano la configurazione dell'attrattore finale e la sua simmetria.

Tentativo di spiegazione della simmetria in generale

E' possibile, al di la delle spiegazioni particolari, dare una ragione comune per la presenza delle simmetrie?

La figura 14 riporta altri attrattori per i quali e' stata ricostruita la formula. E' possibile trovare qualcosa in comune tra di essi?

Corrispondono tutti a un ciclo di un programma di computer che secondo un teorema deve avere un invariante. Anzi in Informatica, dato l'invariante, e' possibile costruire il ciclo.

Quello che si fa e' di mettere all'inizio del ciclo delle istruzioni che spezzano la simmetria cambiando l'invariante, e di seguito le istruzioni che rendono daccapo valido lo stesso.

In effetti c'e una differenza col caso che stiamo considerando. Nei programmi normali ogni ciclo termina quando si verifica una certa condizione, e le istruzioni nel ciclo devono a ogni iterazione procedere nella direzione che fa terminare il ciclo. Nel nostro caso il ciclo non termina mai e non e' ben chiaro in che direzione bisogna procedere.

Ma qual'e' l'invariante per i casi particolari considerati? Certo una parte di questo invariante e' la condizione 2 ma non credo che questa da sola possa determinare il ciclo. E' possibile per esempio, che ci sia una quantita' arbitraria che in ognuno dei vari casi si conservi come ad es. 2*X*Y e che a partire da questa si possa ricostruire la formula? Ma allora come entra il punto di inizio e lo spazio in genere in tutto questo?

Vorrei cercare di capire meglio l'effetto della 1, spezzandola in tante trasformazioni elementari consistenti in singole operazioni algebriche, e vedere se e' possibile capire il meccanismo. E' possibile fornire delle procedure che permettano di "sintetizzare" nuove formule?

Altre questioni aperte

  • Che effetto ha cambiare la finestra attraverso i quali si vedono gli attrattori?
  • Che effetto ha la limitata precisione del computer (e della natura) che ha avuto tanta importanza nella scoperta del caos deterministico?
  • Che effetto ha la limitata lunghezza permessa per la formula?
  • Che effetto ha il fatto che non abbiamo applicato un criterio di "continuita'". Cioe' i valori successivi possono essere anche lontani.
  • Che succede nello spazio delle fasi a 3 o piu' dimensioni?
Naturalmente la questione di base e' sempre la solita: se tutto questo ha davvero rilevanza per la Fisica o serve solo a generare belle immagini. Non che questo sia poco:come dice Mandelbrot "...images[produced by algorithms] are, viewed from the paradigm of mathematical logic,indeed theorems proved in a formal system."

Spero di non averti annoiato troppo.

Giuseppe Zito


Ciao,

ho proseguito nella mia esplorazione, considerando ora dei sistemi fisici concreti e applicando quindi a questi i miei tool, per cercare di capire cosa succede in quelli generati a caso. Intanto ho trovato addirittura un libro dedicato al : "Cell to cell mapping to study the global behaviour of dynamical systems" cioe' la mia rappresentazione a colori globale del sistema dinamico! L'autore ha svilluppato in maniera rigorosa l'idea per studiare sistemi reali. Ora cerchero' di usare i suoi esempi.

Il primo sistema fisico considerato e' quello del pendolo forzato.

Questo viene studiato col seguente sistema di equazioni differenziali di primo grado:

Per quello che riguarda lo studio del comportamento globale del sistema non e' necessaria una integrazione numerica accurata come quella ottenuta col metodo di Runge-Kutta; la sostituzione di dx/dt=f(x,y) con Xn+1 = Xn +f(Xn,Yn)*dt e' sufficiente(dt e' una costante).

Questa e' la iterazione che useremo.

Da notare che stiamo considerando dei sistemi a 3 gradi di liberta'. (Il caos non si puo' presentare in sistemi continui a 2 gradi o 1 grado). Ma una delle 3 variabili e' proporzionale a t e puo' essere sostituito con

 

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