La sorprendente spugna del signor Menger

Introduzione: Sembra che i frattali siano alla base di molti fenomeni naturali. Ma prima che Mandelbrot inventasse questa parola e scoprisse la loro presenza dappertutto, altri matematici all’inizio del secolo scorso avevano scoperto questo stranissimo oggetto (una spugna?) ma l’avevano considerato un “mostro” creato dalla loro immaginazione senza applicazioni pratiche. Una breve nota a piede dei testi specializzati.

Cose da fare: Si tratta di un video. Mettetelo in funzione. Il commento e’ in inglese ma le immagini dovrebbero parlare da se. In caso di problemi guardatevi prima l’articolo di Wikipedia sulla spugna di Menger. A meta’ video compare un grosso punto interrogativo. Potete se volete, fermare il video e cercare di prevedere che tipo di figure avrete in un taglio diagonale della spugna. Riprendendo il video vedrete, guardando dentro l’oggetto reale, se avete indovinato.

Cosa succede: Come sa chiunque abbia giocato col cubo di Rubik, un cubo puo’ essere scomposto in 27 cubetti uguali. Per “costruire” la spugna di Menger almeno con l’immaginazione, cominciate con un cubo intero e dividetelo nei suoi 27 cubetti e infine eliminate il cubo centrale e i 6 cubi al centro di ogni faccia. Queste sono le operazioni base:

1)dividere in 27 cubi uguali

2)eliminare il cubo centrale e i 6 cubi al centro di ogni faccia.

Ora dovete applicare queste operazioni a tutti i 20 cubetti rimasti. Otterrete altri 20×20 cubetti  e… Ormai avete capito, dovete applicare le stesse operazioni ai nuovi cubi. E cosi’ via. Secondo la definizione matematica, queste operazioni dovrebbero continuare all’infinito e la spugna e’ il risultato finale. Nel video (e nella realta’) dobbiamo fermarci dopo qualche passaggio altrimenti arriveremmo rapidamente alle dimensioni del singolo atomo (oltre al fatto di dover impiegare l’eta’ dell’universo per applicare la procedura a tutti quei cubi). Ma come si sa il bello della matematica e’ quello di poter ignorare i limiti della realta’ .

Pero’,come mostra il video, un modello reale limitato a sole 4 iterazioni  puo’ permetterci di scoprire proprieta’ sorprendenti che potrebbero essere difficilmente scoperte se tutto resta nella testa. Come il fatto che ogni sezione piana dell’oggetto 3D e’ anch’esso un frattale dove in molti casi sono presenti quadrati o rettangoli di tutte le dimensioni (e’ questo il significato di frattale:il piano o lo spazio  riempito di figure tutte uguali ma di dimensioni diverse). Questo sembra  ovvio, ma avreste mai previsto che una sezione obliqua contiene invece un frattale a stella?

Questo exploit di creare un frattale tridimensionale reale sara’ fra poco alla portata di tutti perche’ le stampanti 3D  si stanno diffondendo. Si tratta di una stampante che invece di stampare i pixel di un’immagine 2D, crea oggetti 3D voxel a voxel: dove il voxel e’ un piccolo cubetto nello spazio dell’oggetto da stampare. La spugna di Menger e’ un ottimo modo per capire come funziona la stampa 3D. Innanzitutto definite nel computer la spugna come un oggetto 3D (cosa che ormai possono fare numerosi programmi di grafica). Poi il computer “taglia a fette” il modello 3D lungo una direzione. Le fette cosi’ ottenute serviranno da guida per la piastra di costruzione  che e’ collegata a un serbatoio di plastica liquida. La sezione viene scandita riga a riga come una normale immagine 2D: se il punto e’ pieno, la piastra rilascia un po’ di plastica sul resto dell’oggetto gia stampato alla posizione corrispondente, altrimenti passa oltre senza fare niente. La plastica si condensa subito e l’oggetto viene creato poco a poco dal basso verso l’alto, fetta a fetta.

Questo tipo di stampante puo’ creare oggetti geometrici e permetterci di capire meglio le loro proprieta’.

Parlando di stampanti 3D e’ interessante il fatto che la nascita dei frattali e’ collegata ai computer ed alle stampanti (2D). Mandelbrot non fece che utilizzare vecchie formule gia studiate all’inizio del secolo applicandole per creare immagini con una stampante in bianco e nero che stampava solo caratteri. Potete immaginare la sua sorpresa quando   ottenne la famosa forma di “scarafaggio schiacciato” dell’insieme di Mandelbrot(vedi sotto) ora onnipresente su Internet . E la nuova scienza dei frattali era nata.

impin1508

I frattali 3D finora sono stati esplorati con immagini di computer ad alta risoluzione che possono essere ruotate e manipolate. Affascinanti ma ovviamente l’oggetto reale 3D puo’ essere ancora piu’ interessante.

Commenti:

Altri applet su caos e frattali

Il materiale ha come indirizzo https://simonsfoundation.org/multimedia/mathematical-impressions-the-surprising-menger-sponge-slice/ .

Il suo autore e’ George Hart.

Titolo in inglese: The Surprising Menger Sponge Slice .

Ricerca di pagine che hanno link a questo materiale .

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