Vedete i numeri come Daniel Tammet

Introduzione: Daniel Tammet riferisce nella sua autobiografia, Nato in un giorno azzurro, di vedere i numeri ognuno con una propria forma e colore. Racconta inoltre che questo gli permette di moltiplicare due numeri di 2 o piu’ cifre in pochissimo tempo semplicemente usando l’occhio della mente per fondere le immagini dei 2 numeri a formare l’immagine risultato.
Per quanto questa affermazione, se vera, significherebbe che Daniel, un autistico, possiede un talento eccezionale, provate a vedere con questa applicazione interattiva se riuscite a scoprire nuove configurazioni nella sequenza dei numeri interi guardandoli come immagini invece che cifre.

Cose da fare: La pagina iniziale (in inglese) spiega brevemente il metodo usato per trasformare ogni numero in una diversa immagine. Cliccate sotto su  interactive  per far partire uno slideshow delle immagini dei numeri da 1 in poi. Potete fermare l’immagine, andare piu’ velocemente, o andare all’indietro con i 5 tasti che trovate in basso a destra di significato ovvio.
Cercate di guardare i primi 1000 numeri cercando di scoprire delle regolarita’. Riuscite a collegare l’immagine alla scritta che compare in alto a sinistra per ogni numero?

Cosa succede: La tecnica usata per visualizzare i numeri interi e’ quella di usare i risultati della fattorizzazione (che si vedono sulla sinistra in alto) per disegnare l’immagine del numero. Un numero n e’ rappresentato da n pallini che diventano semplici punti quando n diventa grande.
Come avrete di sicuro scoperto tutti i numeri primi (tranne il 2) sono rappresentati da un poligono regolare (inscritto in un cerchio) con un numero di lati uguale al numero stesso.

Del poligono vengono rappresentati solo i vertici.Per questo i numeri primi sono facilmente distinguibili perche’ appaiono quasi tutti come cerchi (perche’ i punti si toccano). Il 2 invece e’ un segmento verticale di cui sono riportati i punti alle due estremita’. Invece il 4=2×2 e’ disegnato con i 4 vertici di un quadrato.

Il metodo usato per la rappresentazione e’ quello dei diagrammi di fattorizzazione. In  questa pagina e’ inclusa anche l’immagine dei primi 36 numeri.

Ecco la regola usata per rappresentare i primi numeri:
1 – 1 punto
2 – 2 punti (estremi di un segmento verticale)
3 – 3 punti su un triangolo
4 – 4 punti su un quadrato
5 – 5 punti pentagono
6 – 3×2 la forma a stella si ottiene partendo dai 3 punti del 3 e trasformandoli nei 2 punti del segmento di 2(notate la rappresentazione leggermente diversa dell’applicazione usata rispetto alla pagina che descrive il metodo)
7 – 7 punti poligono regolare
8 – 2x2x2=2×4 Si disegna un 2 e poi si trasformano i 2 punti in 2 quadrati che rappresentano la moltiplicazione per 4
9 – 3×3 si parte dal 3 trasformando ogni punto in un triangolo ottenendo i 9 punti del 9
10 – 5×2 si procede come per il 6;cioe’ si parte dai 5 punti del 5 e li si trasforma in segmenti del 2 generando una “stella”
11 – poligono
12 – 3×4 – si parte dai 3 punti e li si trasforma in 3 quadrati
13 –  poligono
14 – 7×2 – si procede come per 6
15 – 5×3 – possiamo generalizzare la tecnica del 6 nel modo seguente:disegnare i 5 punti del primo numero e trasformarli ognuno nei 3 punti del secondo numero.
16 – 2x2x2x2 = 4×4 quindi applicare la ricetta del 15
17 – poligono
18 – 9×2
19 – poligono

Come vedete la tecnica usata e’ relativamente semplice (con un programma di computer): la pagina prima vista contiene anche i dettagli su come costruire tale programma.

La tecnica si basa sul fatto che i numeri primi (divisibili solo per 1 o per se stessi) sono un po’ gli elementi fondamentali a partire dei quali possiamo generare tutti gli altri numeri.
Ogni numero diventa cosi’ una “molecola” formata da n primi in proporzioni diverse. La visualizzazione rende questo evidente: ad esempio un’immagine contenente pentagoni indica una molecola contenente il 5.

La figura sopra  mostra il numero 700 che si presenta con  una configurazione di 7 figure uguali disposte su un ettagono. Ognuna di queste presenta un doppio pentagono e infine gli “atomi” sono dei  quadrati. 7x5x5x2x2

Le immagini piu’ straordinarie sono quelli legate alle potenze di numeri primi come 3x3x3x.. che tessellano lo spazio formando un frattale.

In generale dalla presenza di segmenti, triangoli, quadrati, pentagoni… possiamo capire i fattori presenti e la loro potenza.

Questo tipo di struttura viene prodotta facilmente da procedure ricorsive (che richiamano se  stesse) e sono alla base di frattali.

Tra l’altro si parla di numeri “ricchi” (come il 700 sopra) se producono un’immagine molto elaborata e c’e’ una famosa “congettura abc” secondo cui la somma di due numeri ricchi a+b=c produce un numero povero (cioe’ senza struttura)! Questa congettura sembra essere stata dimostrata da un ricercatore giapponese recentemente.

Possiamo  notare facilmente delle regolarita’ nella distribuzione di primi. Molti primi sono a coppie separati da un’unico numero intermedio pari. Per il resto la distribuzione e’ casuale. I numeri primi minori di 1000 sono 168 e presentano circa 20 coppie. Il numero totale di primi e’ infinito (e’ stato dimostrato) ma probabilmente lo e’ anche il numero di
coppie.

C’e’ poi un’altra proprieta’ piu’ sottile che potete scoprire. Il numero ottenuto moltiplicando un numero primo x 2 compare come un doppio cerchio e la sequenza (doppiocerchio cerchio) e’ frequente.
Questo significa che se avete trovato un numero primo p c’e’ qualche probabilita’ che 2p + 1  sia primo!
Questo era difficile da capire senza la visualizzazione. Quali altre cose avete scoperto?

 

Commenti: Un numero primo di Sophie Germain è un numero primo p tale che 2p + 1 sia anch’esso un numero primo. Il numero 2p + 1 è invece chiamato primo sicuro. Tra 1 e 1000 ci sono una ventina di tali numeri primi.

Un’altra famosa formula per generare numeri primi e’ quella di Mersenne 2**p -1 . Tra 1 e 1000 ci sono ben 14 numeri primi il cui numero di Mersenne e’ primo!

Altri applet di concetti base

Il materiale ha come indirizzo http://www.datapointed.net/2012/10/animated-factorization-diagrams/ . L’animazione e’ realizzata in Javascript con l’uso di Canvas per la grafica. Potete quindi scaricarla  (come pagina web) ed eseguirla sul vostro computer (con Open file) senza bisogno di collegamento internet.

Autore:
© Stephen Von Worley

Titolo in inglese : Dance, Factors, Dance

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