Scoprite come i numeri complessi disegnano i frattali

Introduzione: Il famoso frattale di Mandelbrot e’ formato da una particolare funzione di variabile complessa.Questo applet permette di capire come fanno queste funzioni a generare delle immagini cosi’ interessanti.

Cose da fare: Selezionate “Buttons mode” per potere esplorare 5 funzioni predefinite che vedete sotto. Dopo averne selezionata una, avete 3 possibilita’ di vederne l’effetto. In “Gridmode” potete trascinare col mouse una griglia e vedere come questa e’ deformata dalla funzione, in “Curvemode” potete realizzare un qualsiasi disegno e vedere come viene deformato. In queste modalita’ vedete sempre l’effetto di una sola applicazione della funzione. La modalita’ piu’ interessante per capire i frattali e’ “iterateMode”. Scegliete un punto di partenza e cliccando su “Next step” ripetutamente potete vedere dove va a finire. Provate con vari punti di partenza. Cosa notate?

Cosa succede: I numeri complessi z hanno di complesso solo il nome bizzarro , in quanto corrispondendo a coppie di numeri “normali” o reali possono essere rappresentati da punti nel piano cartesiano. Percio’ una funzione analitica trasforma le coordinate del piano producendo la griglia deformata. Quasi ogni funzione di variabile complessa produce trasformazioni non banali. Queste trasformazioni sono alla base degli stessi frattali. Ad esempio l’insieme di Mandelbrot e’ prodotto dalla funzione z = z2 + c dove c e’ una costante complessa. Questa formula puo’ essere impostata scrivendo come “Re f(x,y)”

x*x+y*y+.1

e come “Im f(x,y)”

2*x*y+.2

Questa definisce l’insieme di Julia corrispondente ai valori della costante c=(0.1,0.2). Se provate a iterare partendo da un dato punto iniziale, vedrete che per alcuni punti si esce subito dal quadro (“si va all’infinito”) mentre per altri punti si resta sempre nel cerchio. L’insieme di Julia e’ costituito dai punti iniziali che rimangono intrappolati. Questo insieme puo’ essere fatto da punti tutti collegati tra di loro (insieme connesso) oppure tutti scollegati. Il famoso insieme di Mandelbrot (“lo scarafaggio schiacciato”) e’ la mappa di tutti i punti c=(c1,c2) complessi corrispondenti a insiemi di Julia connessi.

Commenti: Installazione temporaneamente fuori uso : ci stiamo lavorando sopra!

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Il materiale ha come indirizzo http://www.informatik.tu-muenchen.de/~muelleer/complex-viewer.html .

Il suo autore e’ Erasmus Mueller.

Sorgente disponibile a questo indirizzo.

Titolo in inglese: Complex Function Viewer .

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